Aljabar Linier

poster session

Matrik Pembagian,Pengurangan,Penjumlahan,Perkalian

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Pada pembahasan operasi matriks ini, hanya akan dijelaskan mengenai penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks yang secara umum memiliki kesamaan dengan aturan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada skalar. Sedangkan pembagian matriks (matriks invers) memiliki aturan pembagian yang berbeda dengan skalar, sehingga akan dibahas secara terpisah.

Penjumlahan Matriks

Hasil penjumlahan dua matriks adalah suatu matriks yang seluruh elemennya adalah hasil jumlah setiap elemen yang sama letaknya pada kedua matriks tersebut. Dengan kata lain, jika A adalah matriks dengan elemen-elemen nya adalah a_ij dan B adalah matriks dengan elemen-elemennya adalah b_ij, maka hasil jumlah A dan B adalah suatu matriks C dengan elemen-elemennya adalah c_ij dimana c_ij adalah penjumlahan a_ij dan b_ij.

Satu hal penting yang perlu diperhatikan adalah dua matriks yang akan dijumlahkan harus memiliki ukuran yang sama, misal A matriks 3x4 maka B juga harus 3x4 untuk bisa dijumlahkan dengan A.

Definisi penjumlahan matriks dapat dituliskan dengan notasi: A + B = C, dengan c_ij = a_ij + b_ij, dimana a_ij, b_ij, dan c_ij berturut-turut adalah elemen matriks A, B, dan C. Sedangkan dalam bentuk matriks, dapat dituliskan secara umum sebagai berikut:

	a11	a12	…	a1m		b11	b12	…	b1m
A =	a21	a22	…	a2m	B =	b21	b22	…	b2m
	…	…	…	…		…	…	…	…
	an1	an2	…	anm		bn1	bn2	…	bnm

	a11+b11	a12+b12	…	a1m+b1m		c11	c12	…	c1m
A+B=	a21+b21	a22+b22	…	a2m+b2m	=C=	c21	c22	…	c2m
	…	…	…	…		…	…	…	…
	an1+bn1	an2+bn2	…	anm+bnm		cn1	cn2	…	cnm

Pengurangan Matriks

Selisih dari dua matriks adalah suatu matriks yang seluruh elemennya adalah hasil pengurangan setiap elemen yang sama letaknya pada dua matriks tersebut. Dengan kata lain, jika A adalah matriks dengan elemen-elemen nya adalah a_ij dan B adalah matriks dengan elemen-elemennya adalah b_ij, maka hasil selisih A dan B adalah suatu matriks D dengan elemen-elemennya adalah d_ij dimana d_ij adalah hasili pengurangan a_ij dan b_ij.

Seperti halnya penjumlahan matriks, dua matriks yang akan dicari selisihnya harus memiliki ukuran yang sama, misal A matriks 3x4 maka B juga harus 3x4 untuk bisa dikurangkan dengan A.

Definisi pengurangan matriks dapat dituliskan dengan notasi: A - B = D, dengan d_ij = a_ij - b_ij, dimana a_ij, b_ij, dan d_ij berturut-turut adalah elemen matriks A, B, dan D. Sedangkan dalam bentuk matriks, dapat dituliskan secara umum sebagai berikut:

	a11	a12	…	a1m		b11	b12	…	b1m
A =	a21	a22	…	a2m	B =	b21	b22	…	b2m
	…	…	…	…		…	…	…	…
	an1	an2	…	anm		bn1	bn2	…	bnm

	a11-b11	a12-b12	…	a1m-b1m		d11	d12	…	d1m
A-B=	a21-b21	a22-b22	…	a2m-b2m	=D=	d21	d22	…	d2m
	…	…	…	…		…	…	…	…
	an1-bn1	an2-bn2	…	anm-bnm		dn1	dn2	…	dnm

Contoh:

	5		2		1				2		4		1
A =	2		3		6		B =		8		7		9
	7		6		3				3		5		5
		5+2		2+4		1+1				7		6			2
A+B=		2+8		3+7		6+9		=C=		10		10			15
		7+3		6+5		3+5				10		11			8
		5-2		2-4		1-1				3		-2		0
A-B=		2-8		3-7		6-9		=D=		-6		-4		-3
		7-3		6-5		3-5				4		1		-2

Sifat-Sifat Penjumlahan dan pengurangan Matriks

· A + B = B + A

· (A + B) + C = A + (B + C)

· (A + B)^T = A^T + B^T

· Untuk sebarang matriks kuadrat, berlaku:

o A + A^T adalah simetris

o A – A^T adalah skew-simetris

Operasi Penambahan, Pengurangan dan Perkalian Matrik pada program MATLAB

Operasi Penambahan, pengurangan dan perkalian matrik pada program aplikasi Matlab sama halnya dengan operasi matematika matrik secara umum. Diketahui matrik a dan b yang sama-sama berukuran 2x3, seperti dibawah ini


Matrik a dan b kita tulis dalam bahasa Matlab menjadi
>> a=[1 2 3; 4 5 6];
>> b=[7 8 9; 10 11 12];
Penjumlahan matrik a dan b
>> sum=a+b

sum =

8 10 12
14 16 18
Pengurangan matrik b dari a
>> diff=a-b

diff =

-6 -6 -6
-6 -6 -6

Operasi Perkalian

Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada operasi penjumlahan atau pengurangan dua matrik.

Untuk contoh perkalian matrik a dan b diatas, kita harus melakukan operasi transpose (menukar elemen-elemen dalam satu kolom menjadi elemen-elemen dalam satu baris, atau sebaliknya) pada salah satu matrik tersebut.

Transpose matrik b
>> c=b'

c =

7 10
8 11
9 12
Ketika a dan c adalah matrik berukuran 2x3 dan 3x2, resultan perkalian matrik adalah 2x2. Selanjutnya perkalian matrik dapat dilakukan seperti berikut ini
>> mult=a*c

mult =

50 68
122 167

- Perkalian Dua Matriks

Syarat Perkalian Dua Matriks

Jika matriks A_{m x n} dan matriks B_{p x q} dikalikan, maka :

• Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p
• Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q
• Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai

Contoh 1
Diketahui matriks-matriks :

Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan :

1. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks A sama dengan baris matriks B
2. A x C Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks A tidak sama dengan baris matriks C
3. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C
4. C x D Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2, kolom matriks C tidak sama dengan baris matriks D

Contoh 2
Diketahui matriks-matriks: A = dan B =

Tentukan dari perkalian matriks A x B

Jawab

Contoh 3

Diketahui matriks-matriks :

A =  dan B =

Tentukan hasil dari perkalian matriks A x B

Jawab

A x B =

Contoh 4

Diketahui matriks-matriks :

A =  

Tentukan:

a. A²
b. A³

Jawab

a. A² = A x A                            
                    

b. A³ = A x A x A