Kamis, 05 Januari 2012

Matrik Pembagian,Pengurangan,Penjumlahan,Perkalian


Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Pada pembahasan operasi matriks ini, hanya akan dijelaskan mengenai penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks yang secara umum memiliki kesamaan dengan aturan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada skalar. Sedangkan pembagian matriks (matriks invers) memiliki aturan pembagian yang berbeda dengan skalar, sehingga akan dibahas secara terpisah.

Penjumlahan Matriks

Hasil penjumlahan dua matriks adalah suatu matriks yang seluruh elemennya adalah hasil jumlah setiap elemen yang sama letaknya pada kedua matriks tersebut. Dengan kata lain, jika A adalah matriks dengan elemen-elemen nya adalah aij dan B adalah matriks dengan elemen-elemennya adalah bij, maka hasil jumlah A dan B adalah suatu matriks C dengan elemen-elemennya adalah cij dimana cij adalah penjumlahan aij dan bij.
Satu hal penting yang perlu diperhatikan adalah dua matriks yang akan dijumlahkan harus memiliki ukuran yang sama, misal A matriks 3x4 maka B juga harus 3x4 untuk bisa dijumlahkan dengan A.

Definisi penjumlahan matriks dapat dituliskan dengan notasi: A + B = C, dengan cij = aij + bij, dimana aij, bij, dan cij berturut-turut adalah elemen matriks A, B, dan C. Sedangkan dalam bentuk matriks, dapat dituliskan secara umum sebagai berikut:



a11
a12
a1m
b11
b12
b1m
A =
a21
a22
a2m
B =
b21
b22
b2m
an1
an2
anm
bn1
bn2
bnm

a11+b11
a12+b12
a1m+b1m
c11
c12
c1m
A+B=
a21+b21
a22+b22
a2m+b2m
=C=
c21
c22
c2m
an1+bn1
an2+bn2
anm+bnm
cn1
cn2
cnm

Pengurangan Matriks

Selisih dari dua matriks adalah suatu matriks yang seluruh elemennya adalah hasil pengurangan setiap elemen yang sama letaknya pada dua matriks tersebut. Dengan kata lain, jika A adalah matriks dengan elemen-elemen nya adalah aij dan B adalah matriks dengan elemen-elemennya adalah bij, maka hasil selisih A dan B adalah suatu matriks D dengan elemen-elemennya adalah dij dimana dij adalah hasili pengurangan aij dan bij.
Seperti halnya penjumlahan matriks, dua matriks yang akan dicari selisihnya harus memiliki ukuran yang sama, misal A matriks 3x4 maka B juga harus 3x4 untuk bisa dikurangkan dengan A.

Definisi pengurangan matriks dapat dituliskan dengan notasi: A - B = D, dengan dij = aij - bij, dimana aij, bij, dan dij berturut-turut adalah elemen matriks A, B, dan D. Sedangkan dalam bentuk matriks, dapat dituliskan secara umum sebagai berikut:



a11
a12
a1m
b11
b12
b1m
A =
a21
a22
a2m
B =
b21
b22
b2m
an1
an2
anm
bn1
bn2
bnm

a11-b11
a12-b12
a1m-b1m


d11
d12
d1m
A-B=
a21-b21
a22-b22
a2m-b2m
=D=
d21
d22
d2m
an1-bn1
an2-bn2
anm-bnm
dn1
dn2
dnm

Contoh:


5
2
1
2
4
1
A =
2
3
6
B =
8
7
9
7
6
3
3
5
5


5+2
2+4
1+1
7
6
2
A+B=
2+8
3+7
6+9
=C=
10
10
15
7+3
6+5
3+5
10
11
8
5-2
2-4
1-1
3
-2
0
A-B=
2-8
3-7
6-9
=D=
-6
-4
-3
7-3
6-5
3-5
4
1
-2

Sifat-Sifat Penjumlahan dan pengurangan Matriks

· A + B = B + A
· (A + B) + C = A + (B + C)
· (A + B)T = AT + BT

· Untuk sebarang matriks kuadrat, berlaku:
o A + AT adalah simetris
o AAT adalah skew-simetris

Operasi Penambahan, Pengurangan dan Perkalian Matrik pada program MATLAB

Operasi Penambahan, pengurangan dan perkalian matrik pada program aplikasi Matlab sama halnya dengan operasi matematika matrik secara umum. Diketahui matrik a dan b yang sama-sama berukuran 2x3, seperti dibawah ini


Matrik a dan b kita tulis dalam bahasa Matlab menjadi
>> a=[1 2 3; 4 5 6];
>> b=[7 8 9; 10 11 12];

Penjumlahan matrik a dan b
>> sum=a+b

sum =

8 10 12
14 16 18

Pengurangan matrik b dari a
>> diff=a-b

diff =

-6 -6 -6
-6 -6 -6


Operasi Perkalian

Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada operasi penjumlahan atau pengurangan dua matrik.

Untuk contoh perkalian matrik a dan b diatas, kita harus melakukan operasi transpose (menukar elemen-elemen dalam satu kolom menjadi elemen-elemen dalam satu baris, atau sebaliknya) pada salah satu matrik tersebut.

Transpose matrik b
>> c=b'

c =

7 10
8 11
9 12

Ketika a dan c adalah matrik berukuran 2x3 dan 3x2, resultan perkalian matrik adalah 2x2. Selanjutnya perkalian matrik dapat dilakukan seperti berikut ini
>> mult=a*c

mult =

50 68
122 167



- Perkalian Dua Matriks
Syarat Perkalian Dua Matriks
Jika matriks Am x n dan matriks Bp x q dikalikan, maka :
  • Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p
  • Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q
  • Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai
Contoh 1
Diketahui matriks-matriks :
Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan :
  1. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks A sama dengan baris matriks B
  2. A x C Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks A tidak sama dengan baris matriks C
  3. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama dengan baris matriks C
  4. C x D Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2, kolom matriks C tidak sama dengan baris matriks D

Contoh 2
Diketahui matriks-matriks:
A = dan B =
Tentukan dari perkalian matriks A x B
Jawab

Contoh 3
Diketahui matriks-matriks :
A =  dan B =
Tentukan hasil dari perkalian matriks A x B
Jawab
A x B =

Contoh 4
Diketahui matriks-matriks :
A =  
Tentukan:
a. A2
b.
A3
Jawab
a. A2 = A x A                            
                    
b. A3 = A x A x A
                          

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar